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数量关系

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数量关系

行测常用数学公式

工程问题

      工作量=工作效率×工作时间;    工作效率=工作量÷工作时间;

      工作时间=工作量÷工作效率;    总工作量=各分工作量之和;

注:在解决实际问题时,常设总工作量为1最小公倍数

、几何边端问题

1方阵问题:

1.实心方阵:方阵总人数=(最外层每边人数)2=(外圈人数÷4+1)2=N2

            最外层人数=(最外层每边人数-1)×4

2.空心方阵:方阵总人数=(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2×层数)2

                      =(最外层每边人数-层数)×层数×4=中空方阵的人数。

★无论是方阵还是长方阵:相邻两圈的人数都满足:外圈比内圈多8人。

3.N边行每边有a人,则一共有N(a-1)人。

4.实心长方阵:总人数=M×N   外圈人数=2M+2N-4

5.方阵:总人数=N2       N排N列外圈人数=4N-4

例:有一个3层的中空方阵,最外层有10人,问全阵有多少人? 解:(10-3)×3×4=84(人)

(2)排队型:假设队伍有N人,A排在第M位;则其前面有(M-1)人,后面有(N-M)人

(3)爬楼型:从地面爬到第N层楼要爬(N-1)楼,从第N层爬到第M层要爬层。

、植树问题

     线型棵数=总长/间隔+1  环型棵数=总长/间隔  楼间棵数=总长/间隔-1

        (1)单边线形植树:棵数=总长间隔+1;总长=(棵数-1)×间隔

        (2)单边环形植树:棵数=总长间隔;   总长=棵数×间隔

        (3)单边楼间植树:棵数=总长间隔-1;总长=(棵数+1)×间隔

        (4)双边植树:相应单边植树问题所需棵数的2倍。

        (5)剪绳问题:对折N次,从中剪M刀,则被剪成了(2N×M+1)

、行程问题

 ⑴ 路程=速度×时间;    平均速度=总路程÷总时间

   平均速度型:平均速度=

(2)相遇追及型:相遇问题:相遇距离=(大速度+小速度)×相遇时间

                 追及问题:追击距离=(大速度—小速度)×追及时间

                 背离问题:背离距离=(大速度+小速度)×背离时间

(3)流水行船型

                顺水速度=船速+水速;       逆水速度=船速-水速。

                顺流行程=顺流速度×顺流时间=(船速+水速)×顺流时间

                逆流行程=逆流速度×逆流时间=(船速—水速)×逆流时间

(4)火车过桥型

               列车在桥上的时间=(桥长-车长)÷列车速度

               列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=(桥长+车长)÷列车速度

               列车速度=(桥长+车长)÷过桥时间

(5)环形运动型

               反向运动:环形周长=(大速度+小速度)×相遇时间

               同向运动:环形周长=(大速度—小速度)×相遇时间

 

(6)扶梯上下型:扶梯总长=人走的阶数×(1),(顺行用加、逆行用减)

顺行:速度之和×时间=扶梯总长

逆行:速度之差×时间=扶梯总长

(7)队伍行进型

                  对头队尾:队伍长度=(u+u)×时间

                  队尾对头:队伍长度=(u人-u)×时间

(8)典型行程模型

         等距离平均速度            (U1、U2分别代表往、返速度)

     等发车前后过车:核心公式:

         等间距同向反向

         不间歇多次相遇单岸型     两岸型     (s表示两岸距离)

         无动力顺水漂流:漂流所需时间=(其中t和t分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间)

、溶液问题

 

⑴ 溶液=溶质+溶剂    浓度=溶质÷溶液     溶质=溶液×浓度      溶液=溶质÷浓度

 ⑵ 浓度分别为a%、b%的溶液,质量分别为M、N,交换质量L后浓度都变成c%,则

 

 ⑶ 混合稀释型

 

 等溶质增减溶质核心公式:      (其中r1、r2、r3分别代表连续变化的浓度)

、利润问题

(1)利润=销售价(卖出价)-成本;   利润率=-1;

(2)销售价=成本×(1+利润率);        成本=

(3)利息=本金×利率×时期;   本金=本利和÷(1+利率×时期)。

    本利和=本金+利息=本金×(1+利率×时期)=

     月利率=年利率÷12;   月利率×12=年利率。
例:某人存款2400元,存期3年,月利率为10.2‰(即月利1分零2毫),三年到期后,本利和共是多少元?”

2400×(1+10.2%×36) =2400×1.3672 =3281.28(元)

 

、年龄问题

关键年龄差不变;①几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄

                  ②几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差

 

、容斥原理

  ⑴两集合标准型:满足条件I的个数+满足条件II的个数—两者都满足的个数=总个数—两者都不满足的个数

  ⑵三集合标准型:=

  ⑶三集和图标标数型:

  ⑷三集和整体重复型:假设满足三个条件的元素分别为ABC,而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中:满足一个条件的元素数量为x,满足两个条件的元素数量为y,满足三个条件的元素数量为z,可以得以下等式:①W=x+y+z      ②A+B+C=x+2y+3z

、牛吃草问题

核心公式:y=(N—x)T    

原有草量=(牛数-每天长草量)×天数,其中:一般设每天长草量为X

注意:如果草场面积有区别,如“M头牛吃W亩草时”,N用代入,此时N代表单位面积上的牛数。

十、指数增长   

如果有一个量,每个周期后变为原来的A倍,那么N个周期后就是最开始的AN倍,一个周期前应该是当时的

十一、调和平均数

调和平均数公式:

等价钱平均价格核心公式:    (P1、P2分别代表之前两种东西的价格 )

等溶质增减溶质核心公式:      (其中r1、r2、r3分别代表连续变化的浓度)

十二、减半调和平均数

核心公式:

十三、余数同余问题

   核心口诀:“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”

   注意:n的取值范围为整数,既可以是负值,也可以取零值。

 

 

 

十四、星期日期问题

   闰年(被4整除)的2月有29日,平年(不能被4整除)的2月有28日,记口诀:一年就是1,润日再加1;一月就是2,多少再补算。

                      平年与闰年

 

判断方法

年共有天数

2月天数

 

不能被4整除

365天

28天

 

可以被4整除

366天

29天

 

★星期推断:一年加1天;闰年再加1天。

             大月与小月

 

包括月份

月共有天数

大月

1、3、5、7、8、10、12

31天

小月

2、4、6、9、11

30天

 注意:星期每7天一循环;“隔N天”指的是“每(N+1)天”。

 

十五、不等式

(1)一元二次方程求根公式:ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

  其中:x1=;x2=(b2-4ac0)

根与系数的关系:x1+x2=-,x1·x2=

(2)             

(3)   

     推广:

(4)一阶导为零法:连续可导函数,在其内部取得最大值或最小值时,其导数为零。

(5)两项分母列项公式:=(

(6)三项分母裂项公式:=[

十六、排列组合

(1)排列公式:P=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),(m≤n)。  

(2)组合公式:C=P÷P=(规定=1)。

3)错位排列(装错信封)问题:D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5=44,D6=265,

(4)N人排成一圈有/N种; N枚珍珠串成一串有/2种。

十七、等差数列

(1)sn =na1+n(n-1)d;  (2)an=a1+(n-1)d;   (3)项数n =+1;     

(4)若a,A,b成等差数列,则:2A=a+b;     (5)若m+n=k+i,则:am+an=ak+ai ; 

(6)前n个奇数:1,3,5,7,9,…(2n—1)之和为n2    (其中:n为项数,a1为首项,an为末项,d为公差,sn为等差数列前n项的和)

十八、等比数列

(1)an=a1qn-1;     (2)sn (q1)       (3)若a,G,b成等比数列,则:G2=ab;     

(4)若m+n=k+i,则:am·an=ak·ai ;                  (5)am-an=(m-n)d  

(6)=q(m-n)(其中:n为项数,a1为首项,an为末项,q为公比,sn为等比数列前n项的和)

十九、典型数列前N项和

               4.2  

4.3          

       4.7   

 

 

平方数

底数

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

平方

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

121

底数

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

平方

144

169

196

225

256

289

324

361

400

441

484

底数

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

平方

529

576

625

676

729

784

841

900

961

1024

1089

 

立方数

底数

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

立方

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

1331

 

 

多次方数

次方

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

3

3

9

27

81

243

729

 

 

 

 

 

4

4

16

64

256

1024

 

 

 

 

 

 

5

5

25

125

625

3125

 

 

 

 

 

 

6

6

36

216

1296

7776

 

 

 

 

 

 

 

次方

1

2

3

4

5

6

7

8

9

底数

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

4

8

6

2

4

8

6

2

3

3

9

7

1

3

9

7

1

3

4

4

6

4

6

4

6

4

6

4

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

7

7

9

3

1

7

9

3

1

7

8

8

4

2

6

8

4

2

6

8

9

9

1

9

1

9

1

9

1

9

 

★1既不是质数也不是合数

1.200以内质数     2  3  5  7                      101 103 109

               11 13 17 19 23 29             113 127 131 137  

             31 37 41 43 47 53 59       139 149 151 157 163 167

            61 67 71 73 79 83 89 97     173  179 181 191 193 197 199

2.典型形似质数分解

91=7×13

111=3×37

119=7×17

133=7×19

117=9×13

143=11×33

147=7×21

153=7×13

161=7×23

171=9×19

187=11×17

209=19×11

1001=7×11×13

3.常用“非唯一”变换

  ①数字0的变换:

  ②数字1的变换:

  ③特殊数字变换:          

                        

  ④个位幂次数字:         

二十、基础几何公式

1.勾股定理:a2+b2=c2(其中:a、b为直角边,c为斜边)

 

常用勾

股数

直角边

3

6

9

12

15

5

10

7

8

直角边

4

8

12

16

20

12

24

24

15

斜边

5

10

15

20

25

13

26

25

17

2.面积公式:

    正方形=    长方形=     三角形=    梯形=

    圆形=R2          平行四边形=     扇形=R2

3.表面积:

   正方体=6    长方体=    圆柱体=2πr2+2πrh       球的表面积=4R2

4.体积公式

    正方体=    长方体=     圆柱体=Sh=πr2h     圆锥=πr2h    球=

5.若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则它的侧面积:S=πr

6.图形等比缩放型:

一个几何图形,若其尺度变为原来的m倍,则:

     1.所有对应角度不发生变化;         2.所有对应长度变为原来的m倍

     3.所有对应面积变为原来的m2;     4.所有对应体积变为原来的m3

7.几何最值型:

      1.平面图形中,若周长一定越接近与圆面积越大

      2.平面图形中,若面积一定越接近于圆周长越小

      3.立体图形中,若表面积一定越接近于球体积越大

      4.立体图形中,若体积一定越接近于球表面积越大

数量关系归纳分析

一、等差数列两项之差、商成等差数列

1.  60, 30, 20, 15, 12,( )     2.  23, 423, 823,( )         

3.  1,  10,  31, 70, 123 ( )

二、“两项之和(差)、积(商)等于第三项”型

基本类型:   ⑴ 两项之和(差)、积(商)=第3项;  ⑵ 两项之和(差)、积(商)±某数=第3项。

4.  -1,1,( ),1,1,2               5.  ,,( ),,0,          

6.  1944, 108, 18, 6, ( )        7.  2,4,2,(  ),,         

、平方数立方数

1) 平方数列。1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121。。。

2) 立方数列。 1,8,27,64,125,216,343。。。

8.  1, 2, 3, 7, 46, (  )         9.  -1, 0, -1, (  ), -2, -5,-33    

、升、降幂型

10.  24, 72, 216, 648, ( )          A. 1296    B.1944    C. 2552    D. 3240

11.  , , 1, 2, (  ), 24       A. 3       B.5       C. 7       D. 10

八、跳跃变化数列及其变式

13.  9, 15, 22, 28, 33, 39,55,(  )   A. 60   B.61   C. 66   D. 58

、分数数列(分子、分母各成不相关的数列或分子、分母交叉看)

16.  , , , ,(  )     A.      B.      C. 1      D. 

17.  ,,,,(  ),      A.     B.     C.     D. 

十、阶乘数列

18.  1, 2, 6, 24, (  ), 720     A. 109    B. 120    C. 125    D. 169

、余数数列

19.  15, 18, 54,(   ), 210         A. 106    B. 107    C. 123    D. 112

技巧方法:

(一) 观察数列的变化趋势。

1、单调上升或下降的数列。 “先减加,再除乘,平方立方增减项”

2、波动性的数列。  “隔项相关

3、先升后降的数列。底数上升,指数下降的幂数列“最后一项为分子为1的分数,倒数第二项为1”

1、1^6,2^5,3^4,4^3,5^2,6^1,7^0,8^-1,即 1,32,81,64,25,6,1,1/8;

整除判定基本法则

1.能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性

  能被2(或5)整除的数(余数),末一位数字能被2(或5、0)整除(余数);

  能被4(或 25)整除的数(余数),末两位数字能被4(或 25)整除(余数);

  能被8(或125)整除的数(余数),末三位数字能被8(或125)整除(余数);

2.能被3、9整除的数的数字特性

  能被3(或9)整除的数(余数),各位数字和能被3(或9)整除(余数)。

3.能被11整除的数的数字特性

能被11整除的数,奇数位的和偶数位的和,能被11整除。

4.被6能被2和3整除;被10末位是0;能被12能被3和4整除

数量关系公式

1.两次相遇公式:单岸型  S=(3S1+S2)/2    两岸型  S=3S1-S2
例题:两艘渡轮在同一时刻垂直驶离 H 河的甲、乙两岸相向而行,一艘从甲岸驶向乙 岸,另一艘从乙岸开往甲岸,它们在距离较近的甲岸 720 米处相遇。到达预定地点后, 每艘船都要停留 10 分钟,以便让乘客上船下船,然后返航。这两艘船在距离乙岸 400 米处又重新相遇。问:该河的宽度是多少?
         A. 1120 米  B. 1280 米  C. 1520 米  D. 1760 米
典型两次相遇问题,这题属于两岸型(距离较近的甲岸 720 米处相遇、距离乙岸 400 米处又重新相遇)代入公式3*720-400=1760选D
   如果第一次相遇距离甲岸X米,第二次相遇距离甲岸Y米,这就属于单岸型了,也就是说属于哪类型取决于参照的是一边岸还是两边岸

2.漂流瓶公式: T=(2t逆*t顺)/ (t逆-t顺)
例题:AB两城由一条河流相连,轮船匀速前进,A――B,从A城到B城需行3天时间,而从B城到A城需行4天,从A城放一个无动力的木筏,它漂到B城需多少天?
         A、3天 B、21天 C、24天 D、木筏无法自己漂到B城
  解:公式代入直接求得24

3.沿途数车问题公式:发车时间间隔T=(2t1*t2)/ (t1+t2 )  车速/人速=(t1+t2)/ (t2-t1)
例题:小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校,该路公共汽车也以不变速度不停地运行,没隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她,每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,公共汽车的速度是小红骑车速度的(  )倍?
               A. 3     B.4    C.   5   D.6
解:车速/人速=(10+6)/(10-6)=4 选B

4.往返运动问题公式:V均=(2v1*v2)/(v1+v2) 

例题:一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米,返回时速度为每小时20千米,则它的平均速度为多少千米/小时?(  )
                  A.24    B.24.5       C.25      D.25.5
解:代入公式得2*30*20/(30+20)=24选A

5.电梯问题:能看到级数=(人速+电梯速度)*顺行运动所需时间        (顺)
           能看到级数=(人速-电梯速度)*逆行运动所需时间         (逆)
6.什锦糖问题公式:均价A=n /{(1/a1)+(1/a2)+(1/a3)+(1/an)}
例题:商店购进甲、乙、丙三种不同的糖,所有费用相等,已知甲、乙、丙三种糖
每千克费用分别为4.4 元,6 元,6.6 元,如果把这三种糖混在一起成为什锦
糖,那么这种什锦糖每千克成本多少元?
            A.4.8 元 B.5 元 C.5.3 元 D.5.5 元
7.十字交叉法:A/B=(r-b)/(a-r)
例:某班男生比女生人数多80%,一次考试后,全班平均成级为75 分,而女生的平均分比男生的平均分高20% ,则此班女生的平均分是:  
析:男生平均分X,女生1.2X  
1.2X         75-X        1  
       75            =  
X           1.2X-75     1.8  
得X=70 女生为84

9.一根绳连续对折N次,从中剪M刀,则被剪成(2的N次方*M+1)段
10.方阵问题:方阵人数=(最外层人数/4+1)的2次方   N排N列最外层有4N-4人
:某校的学生刚好排成一个方阵,最外层的人数是96人,问这个学校共有学生?
析:最外层每边的人数是96/4+1=25,则共有学生25*25=625
11.过河问题:M个人过河,船能载N个人。需要A个人划船,共需过河(M-A)/ (N-A)次
例题 (广东05)有37名红军战士渡河,现在只有一条小船,每次只能载5人,需要几次才能渡完?  ( )A.7    B. 8     C.9     D.10                     解:(37-1)/(5-1)=9

15.植树问题:线型棵数=总长/间隔+1  环型棵数=总长/间隔  楼间棵数=总长/间隔-1
例题:一块三角地带,在每个边上植树,三个边分别长156M 186M 234M,树与树之间距离为6M,三个角上必须栽一棵树,共需多少树?
           A 93      B 95      C 96      D 99
12.星期日期问题:闰年(被4整除)的2月有29日,平年(不能被4整除)的2月有28
   日,记口诀:一年就是1,润日再加1;一月就是2,多少再补算
例:2002年 9月1号是星期日  2008年9月1号是星期几?
因为从2002到2008一共有6年,其中有4个平年,2个闰年,求星期,则:4X1+2X2=8,此即在星期日的基础上加8,即加1,第二天。
例:2004年2月28日是星期六,那么2008年2月28日是星期几?  
4+1=5,即是过5天,为星期四。(08年2 月29日没到)
13.复利计算公式:本息=本金*{(1+利率)的N次方},N为相差年数
例题:某人将10万远存入银行,银行利息2%/年,2年后他从银行取钱,需缴纳利息税,税率为20%,则税后他能实际提取出的本金合计约为多少万元? (  )
            A.10.32             B.10.44        C.10.50      D10.61
两年利息为(1+2%)的平方*10-10=0.404  税后的利息为0.404*(1-20%)约等于0.323,则提取出的本金合计约为10.32万元
14.牛吃草问题:草场原有草量=(牛数-每天长草量)*天数
例题:有一水池,池底有泉水不断涌出,要想把水池的水抽干,10台抽水机需抽8小时,8台抽水机需抽12小时,如果用6台抽水机,那么需抽多少小时?
                   A、16 B、20 C、24 D、28
解:(10-X)*8=(8-X)*12 求得X=4  (10-4)*8=(6-4)*Y 求得答案Y=24   公式熟练以后可以不设方程直接求出来
16:比赛场次问题: 淘汰赛仅需决冠亚军比赛场次=N-1  淘汰赛需决前四名场次=N
    单循环赛场次为组合N人中取2  双循环赛场次为排列N人中排2

比赛赛制

比赛场次

循环赛

单循环赛

参赛选手数×(参赛选手数-1 )/2 

双循环赛

参赛选手数×(参赛选手数-1 )

淘汰赛

只决出冠(亚)军

参赛选手数-1

要求决出前三(四)名

参赛选手数

8.N人传接球M次公式:次数=(N-1)的M次方/N 最接近的整数为末次传他人次数,第
   二接近的整数为末次传给自己的次数
例题: 四人进行篮球传接球练习,要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球,并作为第一次传球,若第五次传球后,球又回到甲手中,则共有传球方式()。
        A. 60种 B. 65种 C. 70种 D. 75种  
    公式解题: (4-1)的5次方 / 4=60.75   最接近的是61为最后传到别人次数,第二接近的是60为最后传给自己的次数